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计算流体力学三大基本方程:连续性方程、动量方程(纳维-斯托克斯方程)和能量方程推导

 

方法取自安德森《计算流体力学基础》

连续性方程

固定流体微元内质量变化率=流体从笛卡尔坐标三个方向流出量

因此可得:




质量变化率:

则:



连续性方程:


用散度表示则可得到:


对于不可压缩流体,其密度为一常数,因此可以得到:

动量方程(纳维-斯托克斯方程)

根据牛顿第二定律可以得出:F=ma;

因此:对于流体微元:

方程式的左边:F=表面力+体积力

方程式的右边,当仅考虑x方向的作用力时:


回到方程式的左边:

体积力可以表示为:

表面力可以表示为流体微元在x方向所有正应力和切应力之和,其表达式如下所示:


整理可得:


将体积力表达式、表面力表达式和方程右边表达式带入牛顿第二定律表达式中可得:


化简可得:


同理可得y方向和z方向的两个方程:



因此可以得到动量守恒方程的非守恒形式:




//注释:

所谓守恒形式和非守恒形式的区别如下:

如果方程可以写成控制方程通用形式:,即其对流项均采用散度形式表示的形式,这种控制方程的形式称为控制方程的守恒形式,这种方程称为守恒型的控制方程。从微元体的角度考虑,守恒型控制方程等价于非守恒型控制方程,但是在计算一些特殊流场时,守恒型方程和非守恒型控制方程有较大的区别。根据《数值传热学》的描述,在计算激波时,守恒型方程计算结果光滑而稳定,而非守恒型控制方程会引起数值计算结果的震荡,造成错误。并且只有守恒型控制方程才能在计算有限大小控制容积内部所研究的物理量时守恒定律仍然得到满足。(总结自陶文铨《数值传热学》(第二版))

因此,需要通过上述方程继续推导方程的守恒形式:

以x方向为例:


根据:


可得:


将该式子带入上式子:


根据标量与向量的乘积的散度的向量恒等式:




将该式子带入非守恒动量方程表达式得:


同理可得:



因此方程的守恒形式为:




能量守恒方程:

能量守恒方程可以表示为如下形式:

流体微团内能变化率=流入微团的净热流量+体积力和表面力对流体微团的做功的功率

因此,体积力和表面力对流体微团的做功的功率可以表示为:P=Fv

根据动量守恒方程中体积力的描述:体积力=

体积力对流体微元的做功可以表示为:

根据动量守恒方程中表面力的描述:


根据表面力做功的功率为:


体积力和表面力做功之和为:

流入微团的净热流量:

微团的体积加热为:

热传导引起的热量变化为:

流入微团的净热流量=

根据傅里叶热传导定律:

流体微团内能变化率=

能量守恒方程非守恒形式:

根据动量守恒方程:


可得:

整理得:

将上式子代入到能量守恒方程中,用能量守恒方程减去动量方程推导结果,可以得到:





整理得到只有内能表示的能量守恒定律,且消去体积力的能量守恒定律:

根据物质导数的定义:

且:



根据:得到:

可以得到守恒形式的能量守恒方程:



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