漫步微积分三十四——体积计算：圆柱壳法

还有一种去体积的方法，往往它比上篇文章的方法更加方便。

为了理解这种方法，考虑图1左边所示的区域，也就是，第一象限数轴和所示示曲线

y=f(x)
$y=f(x)$围成的区域。如果这个区域绕

x
$x$轴旋转，那么图中的垂直窄带生成一个圆盘，我们能够从$x=0$到

x=b
$x=b$区间上积分这些圆盘的体积得到总体积。当然，这是上篇文章中描述的圆盘法。然而，如果区域绕

y
$y$轴旋转，就像图中间的那样，那么我们获得完全不同的物体，垂直窄带产生了很薄的圆柱壳。这个壳可以看做一个罐头，只是其顶部和底部已被去掉，或者很薄的纸板。其体积$dV$本质上是内圆柱表面积

(2πxy)
$(2\pi xy)$乘以厚度

(dx)
$(dx)$，所以