一、概述。
实变函数，又叫实分析，整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。
最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性，像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。
为了解决这一问题，勒贝格利用分割值域的方法，使得函数可积。
但是分割出来的值域，只能放在一起，形式集合。
如果我们要求出狄利克雷函数的面积，就需要知道它的边长，也就是长度。
集合本身没有“长度”这一概念，所以需要用测度来得到集合的“长度”。（测度=集合的“长度”）
于是，狄利克雷函数在区间[0,1]的积分=1*m(Q)+0*m(I)。
区间[0,1]的有理数的测度m(Q)=0，区间[0,1]的无理数的测度m(I)=1；所以1*m(Q)+0*m(I)=0。
二、集合。
1、有限覆盖定理。
有一开区间族B（B1到Bk的并)覆盖了闭区间A，那么可以在B中选出有限个开区间（虚线小圆）来覆盖A。
2、区间套定理。
若干个闭区间相交，而且一个比一个小，最后交集为一点（同心圆的圆心）。
3、对等和基数。
集合1和集合2中的元素一一对应，称为对等。对等的集合基数相同，基数可以衡量集合的个数，但是基数不是一个准确的数，而是一个代号。
4、可数集合。
全体有理数、正整数是可数集合（所有元素都可以一一列出来）。
一一列出的意思是：如正整数，可以用1，2，3，……，正无穷来列出。
5、不可数集合。
全体实数R、无理数是不可数集合（不能一一列出所有元素）。
三、点集。
1、内点、外点、界点、聚点、孤立点。
红点在圆内，为内点；黄点在圆边界，为界点；蓝点在圆外，为外点。
红点和黄点是聚点。
有一集合E=[a,b]并{c}。c点存在去心邻域（黄色区域），均不属于E，则c是孤立点。
2、开核、边界、导集、闭包。
红色部分和蓝色部分为开核，它不包括边界。
边界，就是圆周，但是圆周可以属于圆（红圆实线黑色边界），也可以不属于圆（蓝圆虚线边界）。
导集=开核+边界。
闭包=集合本身+导集。
3、开集、闭集、完备集。
红色部分（包括实线黑色边界）为闭集，它的每一个聚点都属于集合本身。蓝色部分（不包括虚线黑色边界）为开集，它的每一个内点都属于集合本身。
红色部分（包括实线黑色边界）为自密集，它的每一个聚点都属于集合本身。同时，它也是闭集，自密闭集就是完备集。
4、康托尔三分集P的性质。
P是完备集。
P没有内点。因为P的闭包没有内点，所以P是疏朗集。
P的测度为0，P在区间[0,1]的补集的测度为1。
P的基数为c。
四、测度论。
1、内测度和外测度。
内测度，是内填，对应于圆的内接多边形，只要多边形的边数足够多，上确界就能逼近圆的面积。
外测度，是外包，对应于圆的外切多边形，只要多边形的边数足够多，下确界就能逼近圆的面积。
2、外测度的次可数可加性。
因为外测度是外包，要不等于圆的面积，要不大于圆的面积，这就是次可数可加性。而可数可加性就只有等于圆的面积。
3、可测集。
外测度可以从外面包围任意集合，但这不能使得任意集合都可测，于是，外测度需要添加一个条件（卡拉泰奥多里条件）：
这样，计算测度时，不需要同时使用内外两种测度，而是只使用外测度，大大简化计算。
4、可测集类。
可测集有以下几种类型：
a、凡外测度为零之集皆可测，称为零测度集。
b、零测度集之任何子集仍为零测度集。
c、有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。
d、区间都是可测集合，且mI=I的“长度”。
e、凡开集、闭集皆可测。
f、凡博雷尔集都是L可测集。
五、可测函数。
六、积分论。
七、微分与不定积分。
未完待续。。。
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