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判断一个数是不是质数(素数),3种方式介绍

 
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一、概念介绍

    大家中学都学过,就不过多介绍了,大致提两点:

  •     质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。
  •     0和1既不是质数也不是合数,最小的质数是2

 

二、方法介绍

1.最直观,但效率最低的写法

public static boolean isPrime(int n){
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }
    for(int i = 2; i < n; i++){
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

    这里特殊处理了一下小于等于3的数,因为小于等于3的自然数只有2和3是质数。

    然后,我们只需要从2开始,一直到小于其自身,依次判断能否被n整除即可,能够整除则不是质数,否则是质数。

 

2.初步优化

    假如n是合数,必然存在非1的两个约数p1和p2,其中p1<=sqrt(n),p2>=sqrt(n)。由此我们可以改进上述方法优化循环次数。如下:

public static boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }
    int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
    for (int i = 2; i <= sqrt; i++) {
        if(n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

 

3.继续优化

    我们继续分析,其实质数还有一个特点,就是它总是等于 6x-1 或者 6x+1,其中 x 是大于等于1的自然数。

    如何论证这个结论呢,其实不难。首先 6x 肯定不是质数,因为它能被 6 整除;其次 6x+2 肯定也不是质数,因为它还能被2整除;依次类推,6x+3 肯定能被 3 整除;6x+4 肯定能被 2 整除。那么,就只有 6x+1 和 6x+5 (即等同于6x-1) 可能是质数了。所以循环的步长可以设为 6,然后每次只判断 6 两侧的数即可。

public static boolean isPrime(int num) {
    if (num <= 3) {
        return num > 1;
    }
    // 不在6的倍数两侧的一定不是质数
    if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5) {
        return false;
    }
    int sqrt = (int) Math.sqrt(num);
    for (int i = 5; i <= sqrt; i += 6) {
        if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

    对于输入的自然数 n 较小时,也许效果不怎么明显,但是当 n 越来越大后,该方法的执行效率就会越来越明显了。
    

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