§4.2 换元积分法
一、第一类换元法
设
具有原函数
，即
， 。
若
又是另一新变量
的函数
， 且
可微，由复合函数的微分法有 ，从而
综合上述讨论，有
【定理一】设具有原函数，可导，则有换元积分公式
这个定理表明：欲求不定积分
，可令，则不定积分化为
，它将原来的积分变量换成了新的积分变量，求出不定积分之后，再把代换回去。
【例1】求下列不定积分
1、
， 2、
， 3、
解1
令 
， ，
。
解2
令 
， ，
。
解3
令 
， ，
。
由上面的解题可发现，变量只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。
例如：
研究这些解法可观察到一个非常鲜明的特点：
将被积表达式凑成某个函数的微分形式，再利用积分运算与微分运算的互逆性，达到求不定积分的目的。
因此，第一类换元法又俗称为“凑微分法”。
【典型例题】 求不定积分 。
解： 由复合函数求微分的脱衣原理， 有
于是我们有下述典型的凑微分过程：
显而易见，凑微分过程与用脱衣原理求复合函数微分过程是完全相反的。因此，凑微分的过程可视为运用“穿衣原理”进行穿衣的过程 --- 即：后脱的衣服应先穿(或：先脱的后穿)。
一般来说，小孩子是先学会脱衣服，再学会穿衣服。这是由于穿衣服有个次序问题。因此，用凑微分法求不定积分较用脱衣原理求复合函数的导数要困难得多。
【例2】求
解：
【例3】求
解：
二、第二类换元法
第一类换元法：
有时会遇到相反情形：
显然，这类换元公式成立需要一定的条件，我们来探讨一下它所需要条件。
(1)、代换应可导；
(2)、等式右端的不定积分要存在，即存在着原函数；
(3)、求出
后，必须用的反函数
代回去，这样，需要函数具有反函数。
【定理二】若
1、是单调函数；
2、
可导， 且；
3、具有原函数
则有换元公式
其中： 是 的反函数。
【证明】
令 ， 则
，
这表明：
是的原函数， 于是有：
【例4】求
解：令
【例5】求
解： 令
， ，
这里：
对此例，我们给出两点注解：
1、对于第二类换元法，求反函数是一个麻烦的地方，往往需要一定的技巧。上例的反函数不能简单地用
，并将它代入
中，得到 这个“形式过重”表达式，因为它不便应用。
2、这一不定积分是一个重要的积分公式。
第二类换元法有一个十分有用的代换 —— 倒置代换。这一代换处理某些不定积分功效显著 (用它可消去被积函数的分母中的因子， 特别是幂次为偶数的情形)。
【例6】求
解： 令
最后，我们指出：使用变量替换求不定积分，关键是选择恰当的替换，这需要经验。记往! 不适宜的替换会使问题弄得愈来愈复杂。
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