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今天帮同学做了一个非线性函数的曲线拟合，以前没做过，所以是摸着石头过河。费了一下午时间，终于把曲线拟合出来了，顺道也学习了使用Matlab进行曲线拟合的方法，把学习所得记录下来，和大家共享。
一、 单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、启动曲线拟合工具箱
》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：
· Custom Equations：用户自定义的函数类型
· Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
· Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
· Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
· Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
· Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
· Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
· Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
· Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
· Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
· Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。
（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263
同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。
这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。下面我介绍帮同学做的一个非线性函数的曲线拟合。
上面说了，函数的曲线拟合我以前没做过，所以是摸着石头过河，不知道所采用的方法是否合理，虽然是完成了拟合，不过我觉得自己采用的拟合方法还是比较原始的，希望做曲线拟合的朋友多多指教。
原始数据如下：
T(K) K
200.00 2.5069E-13
220.00 3.5043E-13
223.00 3.6741E-13
225.00 3.7904E-13
250.00 5.4617E-13
275.00 7.5744E-13
295.00 9.6192E-13
298.00 9.9551E-13
300.00 1.0183E-12
325.00 1.3346E-12
350.00 1.7119E-12
375.00 2.1564E-12
400.00 2.6739E-12
425.00 3.2706E-12
450.00 3.9527E-12
475.00 4.7261E-12
480.00 4.8922E-12
500.00 5.5968E-12
525.00 6.5710E-12
550.00 7.6544E-12
575.00 8.8529E-12
600.00 1.0172E-11
800.00 2.5705E-11
1000.00 5.1733E-11
1250.00 1.0165E-10
目标：拟合成 k = A*(T^a)*exp(E/T) 模式的公式，
其中A、a和E为未知常数，是我们需要通过曲线拟合要求出的数据。
拟合目标中的公式是幂逼近和指数逼近的混合，用Matlab的cftool 工具箱的自定义函数来逼近，效果并不理想，所以我就参考了网上的一些博客和百度知道等资源，采取如下策略：
首先将非线性的拟合公式转化为线性公式，再用求解线性方程组的矩阵方法求出未知常数的值。
具体地说，拟合公式的线性化表达式为： log(k) = log(A) + a*log(T) + E/T 。这里有三个未知常数log(A)、a 和 E，则依次取T，K各三个数据，组成 N 个线性方程组： Cx=b，
其中：x=[log(A), a, E], C=[1, log(T), 1/T], b=log(k) 。
解这些线性方程组，得到所有方程组的解组成的解矩阵 xMat，其大小为 N*3，对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值。
根据以上策略，可求得未知常数A、a和E的值如下：
A = 3.8858e-020，a = 3.0595，E = -117.2915
程序源码：
function [A,a,E]= fun_NLFit(T,K)
% 函数 FUN_NLFIT() 根据输入T，K的数据集，求出拟合公式 k = A*(T^a)*exp(E/T)
% 的未知常数 A,a,E 。
logT=log(T);
logK=log(K);
daoT=T.^(-1);
lenT=length(T);
C=ones(3);
xMat=[];
% 为了提高拟合精度，从第一个数据点开始，依次分别取T、K的三个相邻的数据点
% 组成线性方程组，若 T 有 lenT 个元素，则可组成 lenT-2 个方程组
for r=1:lenT-2
C(:,2)=logT(r:r+2);
C(:,3)=daoT(r:r+2);
b=logK(r:r+2);
% C=[1 log(T) 1/T], b=log(k)
x=(C/b)';
xMat=[xMat; x];
% 每解一次方程组，则将解 x 存入解矩阵 xMat
end
% 对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值
logA=mean(xMat(:,1));
A=exp(logA);
a=mean(xMat(:,2));
E=mean(xMat(:,3));
% 画出由点集T、K构成的目标曲线
h1=stem(T,K,'bo'); % ‘bo’表示每个点用一个小圆圈表示
set(h1,'MarkerFaceColor','green'); % 小圆圈内的颜色为绿色
set(h1,'LineStyle','none'); % 隐藏基线到点的连线
set(get(h1,'BaseLine'),'LineStyle','none'); % 隐藏基线
hold on; % 保持由点集构成的目标曲线，以便和拟合曲线进行对比
% 根据拟合公式，求出若干的拟合点，画出拟合曲线
t=200:10:1300;
k=A*(t^a)*exp(E/t);
plot(t,k,'r');
% 拟合曲线用红色表示
xlabel('T'); ylabel('K'); title('Nonlinear Curve Fitting');
拟合效果图如下：
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