Jensen 不等式 -一个渣渣

$\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})\geq f\left(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}\right) \quad\quad\quad (1)$

2.于是，对于任意点集 $\{x_i\}$ ，若 $\lambda_i \geq 0$ 且

$\sum_i \lambda_i = 1$ ，

使用数学归纳法，可以证明凸函数 f (x) 满足：

$f(\sum_{i=1}^M \lambda_i x_i) \leq \sum_{i=1}^M \lambda_i f(x_i) \quad\quad\quad (2)$

（凹函数相反）

如果把 $\lambda_i$ 看成取值为 ${x_i}$ 的离散变量 x 的概率分布，那么公式(2)就可以写成

$f(E[x]) \leq E[f(x)]$

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