一、经典霍尔效应
经典霍尔效应由Edwin Hall于1879年发现。它描述的现象是：
在一个二维平面$(x,y)$的材料中，电子被束缚在此平面内运动，如果施加垂直于此平面的匀强磁场$B$, 并且限制电流的流向在$x$方向，那么我们将会在材料的$y$方向两边沿间得到一个电势差$V_H$，此电压称为霍尔电压。
利用高中学过的洛伦兹力就可以解释此现象，并计算出霍尔电阻，霍尔系数等物理量。从现在来看，这些现象都是比较平凡无趣的，而这种无趣正是源于霍尔系数是个常数！
霍尔系数的定义为$$R_H=-\frac{E_y}{J_x B}=\frac{\rho_{xy}}{B}$$.
其中$E_y$为在$y$方向的电场，也就是产生霍尔电压的电场。$J_x$即被限制在$x$方向的电流密度，$B$为磁感应强度。$\rho_{xy}=-\frac{E_y}{J_x}$为电阻率张量的非对角元之一，它也是整个霍尔效应中最为关键的可观测量。鉴于霍尔系数$R_H$是常数，那么$\rho_{xy}$与磁场$B$呈线性关系，这是经典霍尔效应的一个重要结论。
二、量子霍尔效应
量子效应在低温和强磁场下通常会变得显著。
（i） 整数量子霍尔效应
第一个量子霍尔效应是由Von Klitzing, Dorda和 Pepper[1]于1980年完成的。它最显著的结果是$\rho_{xy}$不再像经典霍尔效应一样可连续取值。它可允许的取值为
$$\rho_{xy}=\frac{2\pi\hbar}{e^2}\frac1\nu,\quad \nu\in Z$$.
如果把$\rho_{xy}$随$B$变化的曲线绘制，我们发现量子效应就表现为图1中一个个的平台。每个平台中心处对应的磁场为$B=\frac{2\pi\hbar n}{e\nu}$. 令人惊奇的是$\nu$与整数的差异只有$1/10^9$.
图1
[1] Phys. Rev. Lett. 45 494.
通常实验上的材料都是有缺陷的，也就是说它们不是纯净的，是无序的。我们一般总是希望剔除杂质，让材料更为有序。但是对于整数量子霍尔效应，如果增加材料的无序程度，你会发现图1中的平台会越发显著。事实上，如果材料完全有序，那么平台也将消失。注意平台的消失并不代表量子霍尔效应的消失。平台的消失是因为无限多的分数量子霍尔效应的存在，讨论见下节。
（ii）分数量子霍尔效应
上面我们看到了$\nu$的取值只能是整数，但在1982年Tsui，Stormer和Gossard[2]一起发现了$\nu$除了整数外还可以取分数。它们的结果如图2. 其中$\nu=1/3, 2/5$的平台都十分明显。
图2
[2] Phys. Rev. Lett. 48 (1982)1559.
但需要注意的是，并不是所有分数平台都出现在了实验结果中。当系统的无序程度减小时，越来越多的平台会出现。一般来讲，人们相信对于一个完美有序的材料，我们将得到无限个平台，因此这将过渡到经典霍尔效应$\rho_{xy}$随$B$线性变化的结果。
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